Divisibilidad

TEMA :2

Divisibilidad

«Divisor» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Divisor (desambiguación).

Decimos que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que:

b = a · c

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

 Factor propio

Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a un número también entero que es divisor de n. Por ejemplo, 7 es factor propio de 42 porque 42/7 = 6.

Casos especiales: 1 y -1 son factores propios de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.

 Propiedades

Sean , es decir , y son números enteros. Tenemos las siguientes propiedades básicas:

• (Propiedad Reflexiva).
• Si y , entonces (Propiedad Transitiva).
• Si , entonces .
• Si y , entonces .
• Si y , entonces
• Si y , entonces .
• Si y , entonces .
• Para , si y sólo si
• Si y , entonces .
• Si y cumple que y , entonces .

Como y se tiene que y para todo entero. Si no es divisible por escribimos . Notemos que para todo distinto de cero, pues para todo entero.

Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división:

2
El número termina en cero o cifra par.

3
La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

4
El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4.

5
La última cifra es 0 ó 5.

6
El número es divisible por 2 y por 3.